Problema enviado pelo Rodrigo

"Você dispõe de uma balança, do tipo da de feirante, com dois pratos, perfeitamente calibrada.

há 12 bolas perfeitamente idênticas em textura, dimensões, e todos os atributos físicos, exceto o peso, uma delas possui o peso DIFERENTE do das demais.

dispondo-se de apenas três pesagens nas balanças (isto é, apenas pode-se pesar um determinado conjunto dessas 12 bolas 3 vezes, no máximo), indique o método e o raciocínio empregados para se determinar com exatidão qual a bola que possui o peso diferente." - Rodrigo cientista

É um belo problema.

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Solução:
Primeiro apanha-se um grupo de quatro bolas( grupo A) e coloca-se de lado.
Compara-se as oito bolas restantes, quatro(grupo L) e quatro(grupo P).

I. Se a balança equilibrou, você sabe que as diferentes estão no grupo A.
Apanhamos então três bolas do grupo A e comparamos ao grupo P ou L para determinar se a bola é mais leve ou mais pesada. Se a bola for mais leve, a balança tenderá para o lado do grupo de controle (P ou L) se for mais pesada, acontecerá o oposto.
Finalmente resta uma pesagem, e já sabemos que a bola está entre as três restantes, e se é mais leve ou mais pesada, então basta deixar uma de fora e comparar as outras duas. Se não pender para nenhum lado, é a que ficou de fora.
Faltou apenas dizer que se na segunda comparação (realizada com 3 bolas do grupo A e três do grupo P)acontecer o equilíbrio, sabemos que a bola do grupo A que ficou de fora é a mais pesada ou leve e resta uma pesagem para determinar exatamente isso. O que conclui-se facilmente, comparando com outra bola qualquer.


II. Se a balança não equilibrou, pendeu para um lado. Suponhamos que pendeu para P (Note que a bola pode estar em L e ser mais leve),vamos trabalhar como se a bola estivesse em P e fosse mais pesada.


Então na segunda pesagem faremos PaPaLa versus PbPbLb(3 bolas, sendo 2 de P e uma de L de cada lado( lados a e b), num total de 6 bolas).

Se equilibrar temos do lado de fora, duas bolas do tipo "+ Leve" ou L. Na terceira pesagem, basta comparar uma com a outra e já saberemos qual a mais leve e diferente do restante.

Se não equilibrar, ficamos na seguinte situação, descobrimos que as duas bolas L que estavam fora são iguais às bolas do grupo A e não nos servem. Digamos que pendeu para LaPaPa ( note que tanto faz, pela simetria da resposta). Daí sabemos que ou a bola que nos interessa é Lb ( a mais leve do lado B dos pratos) ou é uma das duas mais pesadas do lado A dos pratos Pa.

Bem, resta-nos uma pesagem e temos três bolas potenciais. Comparamos as duas bolas do tipo P e vemos para que lado a balança pende. Para qualquer um deles, essa bola é mais pesada que as restantes. Caso haja equilíbrio, a bola Lb é mais leve que todas as outras.



Abs.
Carlos