15 junho 2007

Problema enviado pelo Rodrigo



"Você dispõe de uma balança, do tipo da de feirante, com dois pratos, perfeitamente calibrada.

há 12 bolas perfeitamente idênticas em textura, dimensões, e todos os atributos físicos, exceto o peso, uma delas possui o peso DIFERENTE do das demais.

dispondo-se de apenas três pesagens nas balanças (isto é, apenas pode-se pesar um determinado conjunto dessas 12 bolas 3 vezes, no máximo), indique o método e o raciocínio empregados para se determinar com exatidão qual a bola que possui o peso diferente." - Rodrigo cientista

É um belo problema.

Pressione simultaneamente Ctrl + A para ver a minha solução.
Solução:
Primeiro apanha-se um grupo de quatro bolas( grupo A) e coloca-se de lado.
Compara-se as oito bolas restantes, quatro(grupo L) e quatro(grupo P).

I. Se a balança equilibrou, você sabe que as diferentes estão no grupo A.
Apanhamos então três bolas do grupo A e comparamos ao grupo P ou L para determinar se a bola é mais leve ou mais pesada. Se a bola for mais leve, a balança tenderá para o lado do grupo de controle (P ou L) se for mais pesada, acontecerá o oposto.
Finalmente resta uma pesagem, e já sabemos que a bola está entre as três restantes, e se é mais leve ou mais pesada, então basta deixar uma de fora e comparar as outras duas. Se não pender para nenhum lado, é a que ficou de fora.
Faltou apenas dizer que se na segunda comparação (realizada com 3 bolas do grupo A e três do grupo P)acontecer o equilíbrio, sabemos que a bola do grupo A que ficou de fora é a mais pesada ou leve e resta uma pesagem para determinar exatamente isso. O que conclui-se facilmente, comparando com outra bola qualquer.


II. Se a balança não equilibrou, pendeu para um lado. Suponhamos que pendeu para P (Note que a bola pode estar em L e ser mais leve),vamos trabalhar como se a bola estivesse em P e fosse mais pesada.


Então na segunda pesagem faremos PaPaLa versus PbPbLb(3 bolas, sendo 2 de P e uma de L de cada lado( lados a e b), num total de 6 bolas).

Se equilibrar temos do lado de fora, duas bolas do tipo "+ Leve" ou L. Na terceira pesagem, basta comparar uma com a outra e já saberemos qual a mais leve e diferente do restante.

Se não equilibrar, ficamos na seguinte situação, descobrimos que as duas bolas L que estavam fora são iguais às bolas do grupo A e não nos servem. Digamos que pendeu para LaPaPa ( note que tanto faz, pela simetria da resposta). Daí sabemos que ou a bola que nos interessa é Lb ( a mais leve do lado B dos pratos) ou é uma das duas mais pesadas do lado A dos pratos Pa.

Bem, resta-nos uma pesagem e temos três bolas potenciais. Comparamos as duas bolas do tipo P e vemos para que lado a balança pende. Para qualquer um deles, essa bola é mais pesada que as restantes. Caso haja equilíbrio, a bola Lb é mais leve que todas as outras.



Abs.
Carlos

5 comentários:

maya disse...

minha solução

você divide o grupo em 2 conjuntos de 6 bolas e descarta o conjunto com menor pesagem.

divide o conjunto em 2 grupos de 3 bolas e descarta o de menor pesagem.

pesa duas bolas, se a balança desequilibrar então você terá a bola mais pesada em um dos pratos, e se ficar equilibrada então a bola mais pesada é a que ficou de fora.

Carlos disse...

Maya,

Sua solução parte do princípio que uma bola é mais pesada, mas não sabemos se a bola é mais pesada ou mais leve, apenas que seu peso é distinto do peso das demais.

Abs.
Carlos

magis aequo disse...

Carlos
É verdade, muito obrigada.
Abs.
Maya

Suzane disse...

Carlos, voce també considerou que o P seria mais pesado e o L mais leve, fiquei um tanto confusa... ainda não consegui entender, vou tentar mais um pouco...

Filosofia da Matemática disse...

Eu já resolvi este problema alguns anos atrás. O primeiro passo é dividir as 12 bolas em 3 grupo de quatro. Ela exige uma boa dose de combinatórias e suposições, uma vez que não sabemos que a bola diferente é mais pesada ou mais leve. De fato, é um problema interessante.